多阶段批式反应器¶

背景¶

许多批式生产过程会针对连续反应采用不同的催化剂或操作工况。本例先将原料 \(A\) 转化为中间体 \(B\)，更换催化剂后再将 \(B\) 转化为产品 \(P\)。切换过早会导致中间体不足，切换过晚则没有足够时间生成产品。提高温度强度可以加速两个反应，但也会增加操作代价。

因此，该过程是一个真正的多阶段问题：动力学在优化得到的事件时刻发生变化，而所有浓度在事件处保持连续。

问题定义¶

每个阶段的归一化浓度向量为 \(x_j=(A_j,B_j,P_j)\)。在第一阶段 \(0\le t\le t_s\) 内，

\[ \begin{aligned} k_1(u_1)&=0.20+1.80u_1, \\ \dot A_1&=-k_1A_1, \\ \dot B_1&= k_1A_1, \\ \dot P_1&=0. \end{aligned} \]

在第二阶段 \(t_s\le t\le2\ \mathrm h\) 内，

\[ \begin{aligned} k_2(u_2)&=0.10+2.40u_2, \\ \dot A_2&=0, \\ \dot B_2&=-k_2B_2, \\ \dot P_2&=\eta k_2B_2, \end{aligned} \qquad \eta=0.92. \]

初始条件、事件连接条件和控制边界为

\[ \begin{aligned} x_1(0)&=(1,0,0), \\ x_1(t_s)&=x_2(t_s), \\ 0.20&\le t_s\le1.80, \\ 0&\le u_1(t),u_2(t)\le1. \end{aligned} \]

终端浓度自由。目标函数在产品产率与温度代价之间进行权衡：

\[ \min J=-P_2(2)+0.15\left( \int_0^{t_s}u_1(t)^2\,\mathrm dt+ \int_{t_s}^{2}u_2(t)^2\,\mathrm dt \right). \]

变量与单位¶

符号	含义	单位
\(t\)	批次时间	h
\(A,B,P\)	归一化原料、中间体和产品浓度	-
\(u_1,u_2\)	归一化温度强度	-
\(k_1,k_2\)	有效一级反应速率常数	h\(^{-1}\)
\(t_s\)	催化剂切换时刻	h
\(\eta\)	被消耗中间体生成产品的收率	-

建模选择¶

每种催化剂工况分别使用一个 Lobatto 阶段，每个阶段包含 24 个网格区间，每个区间有两个插值点。这样可使浓度和温度重构保持分段线性，避免节点间边界过冲，同时不会比原先的高阶网格增加决策点数量。共享静态参数保存事件两侧的三个浓度；第一阶段终端边界和第二阶段初始边界使用相同参数，从而严格施加连续性。切换时刻也是共享参数，与两个控制轨迹一同优化。

收率 \(\eta<1\) 表示进入未建模副产物的物料损失。温度代价权重使两个阶段都得到内部最优控制，而不是缺乏信息量的全程温度上限解。

运行示例¶

python -m examples.multiphase_batch_reactor

保存图片且不打开窗口：

python -m examples.multiphase_batch_reactor --save batch-reactor.png --no-show

关键实现¶

system = System(["a_switch", "b_switch", "p_switch",
                 "a_final", "b_final", "p_final", "t_switch"])
a_s, b_s, p_s, a_f, b_f, p_f, t_s = system.s

phase_1.set_boundary_condition(
    [1.0, 0.0, 0.0], [a_s, b_s, p_s], 0.0, t_s
)
phase_2.set_boundary_condition(
    [a_s, b_s, p_s], [a_f, b_f, p_f], t_s, BATCH_TIME
)
system.set_phase([phase_1, phase_2])
system.set_objective(
    -p_f + EFFORT_WEIGHT * (phase_1.I[0] + phase_2.I[0])
)

已验证结果¶

Ipopt 成功终止，目标函数值为 \(-0.45376749\)。最优催化剂切换时刻为 \(t_s=1.092691\ \mathrm h\)，终端产品比例为 \(0.658482\)。按 \((t_f-t_0)^{-1}\int u\,\mathrm dt\) 计算的第一、第二阶段时间平均温度强度分别为 \(0.796591\) 和 \(0.860164\)。事件两侧的最大浓度误差小于 \(2\times10^{-6}\)，每个阶段上的 2,001 点检查在所列精度下没有发现路径边界超限。

两阶段批式反应器的浓度与最优温度强度

源码¶

完整可运行示例见 examples/multiphase_batch_reactor.py。