地震作用下的结构振动开环前馈控制

背景

主动结构控制执行器可以施加力来减小地震期间的结构运动。可实现的减振 效果取决于结构动力学、执行器力上限，以及对未来激励的掌握程度。本例 用一个阻尼结构模态和一段规定的合成地面加速度记录，单独展示这种权衡。

优化得到的是在整段记录预先已知条件下计算的理想开环前馈指令。 它不是因果反馈控制器，也不能解释为可直接实施的地震预警控制策略。

激励与单自由度模型

20 秒地面加速度为

\[ \begin{aligned} a_g(t)={}&0.35g \exp\left[-\left(\frac{t-5}{2.2}\right)^2\right] \sin(2\pi(1.1)t)\\ &+0.12g \exp\left[-\left(\frac{t-9}{3.0}\right)^2\right] \sin(2\pi(2.4)t+0.4), \end{aligned} \]

其中 \(g=9.80665\ \mathrm{m/s^2}\)。令 \(x\) 为相对/模态位移， \(v=\dot x\) 为其速度。实际执行器力由归一化控制 \(u\) 表示：

\[ F(t)=F_{\max}u(t),\qquad |u(t)|\le1. \]

设模态质量为 \(m_s\)，固有频率为 \(\omega_n\)，阻尼比为 \(\zeta\)，则 基底激励单自由度动力学为

\[ \begin{aligned} \dot x&=v,\\ \dot v&=-2\zeta\omega_nv-\omega_n^2x +\frac{F_{\max}}{m_s}u-a_g(t). \end{aligned} \]

参数取值为

\[ m_s=250\,000\ \mathrm{kg},\qquad \omega_n=2\pi(1.2)\ \mathrm{rad/s},\qquad \zeta=0.03,\qquad F_{\max}=1.0\times10^6\ \mathrm N. \]

目标函数、端点与约束

结构从静止状态出发，并在终端回到静止：

\[ x(0)=v(0)=0,\qquad x(20)=v(20)=0. \]

归一化目标函数权衡位移、速度和控制代价：

\[ \min J=\int_0^{20} \left[ \left(\frac{x}{x_{\max}}\right)^2 +0.05\left(\frac{v}{\omega_nx_{\max}}\right)^2 +0.02u^2 \right]\,\mathrm dt, \qquad x_{\max}=0.08\ \mathrm m. \]

路径边界为

\[ |x(t)|\le0.08\ \mathrm m,\qquad |v(t)|\le1.0\ \mathrm{m/s},\qquad |F(t)|\le1000\ \mathrm{kN}. \]

被动响应只是独立对照，不属于受约束优化问题，因此可以超过主动轨迹的 80 mm 位移边界。

变量与单位

符号	含义	单位
\(t\)	时间	s
\(x\)	结构相对或模态位移	m
\(v\)	相对或模态速度	m/s
\(a_g\)	规定的地面加速度	m/s²
\(u\)	归一化执行器指令	无量纲
\(F\)	理想执行器力	N
\(m_s\)	模态质量	kg
\(\omega_n\)	无阻尼固有角频率	rad/s
\(\zeta\)	模态阻尼比	无量纲
\(J\)	归一化惩罚的积分	s

建模选择与适用边界

相对/模态位移是基底激励 SDOF 方程的正确坐标，不应把它理解为楼层绝对 位移或多层层间位移分布。\(160\times4\) Lobatto 网格能够解析规定激励的 两个频率分量。

执行器是理想的：力瞬时跟随 \(u(t)\)，没有力变化率、延迟、内部饱和动态、 行程、功率、能量或连接结构模型。控制器还非因果地知道完整地震记录。 模型没有状态估计器、反馈律、鲁棒性分析、土-结构相互作用、高阶模态、 屈服或参数不确定性。因此，本例给出的是乐观的前馈性能参考，不是可部署 控制器。

运行示例

python -m examples.structural_vibration_control

保存图片且不打开窗口：

python -m examples.structural_vibration_control --save structural-vibration-control.png --no-show

独立数值验证

脚本在 4,001 个时刻重构配点解，对控制力样本作线性插值，再用高精度 DOP853 求解器独立积分物理 SDOF 方程；同一个求解器还通过 \(u(t)=0\) 计算被动响应。脚本比较重新积分与配点状态，检查终端静止条件和全部密集 边界，并积分物理控制力平方。

指标	验证值
目标函数 \(J\)	\(0.02300351\)
被动相对/模态位移峰值	\(395.2115\ \mathrm{mm}\)
受控相对/模态位移峰值	\(1.1492\ \mathrm{mm}\)
理想执行器力峰值	\(885.675\ \mathrm{kN}\)
执行器力平方积分	\(1.127056\times10^{12}\ \mathrm{N^2\,s}\)
最大前向积分位移误差	\(4.844\times10^{-5}\ \mathrm m\)
最大前向积分速度误差	\(6.712\times10^{-4}\ \mathrm{m/s}\)
最大密集路径边界超限	输出精度下为 \(0\)

从 395.2115 mm 降到 1.1492 mm 的显著减振效果，部分来自优化器能够看到 全部未来激励并驱动理想执行器。它是这一确定性教学模型的数值结果，不是 因果真实控制器可以预期达到的减振比例。

源代码

完整可运行示例见： examples/structural_vibration_control.py。