Ramsey 增长模型¶

背景¶

Ramsey 增长模型研究社会规划者应如何在当期消费与投资之间分配产出。增加消费可以立即提高效用；增加投资则会积累资本、扩大未来产出。本例计算一条 30 年转型路径，使资本不足的经济体到达修正黄金律稳态。

所有经济量均采用人均归一化单位。该确定性模型用于展示宏观经济学中的最优控制方法，不用于预测任何具体经济体。

人均产出服从 Cobb-Douglas 生产函数

\[ y(t)=A k(t)^\alpha, \]

其中 \(k(t)\) 为人均资本，\(c(t)\) 为人均消费。资本积累满足资源约束

\[ \dot k=A k^\alpha-\delta k-c. \]

规划者在固定的 \(T=30\) 年时域上最大化贴现对数效用：

\[ \max_{k,c}\ W=\int_0^T e^{-\rho t}\log c(t)\,\mathrm dt. \]

Pockit 实际最小化 \(-W\)。生产率 \(A=1\)、资本份额 \(\alpha=0.33\)、折旧率 \(\delta=0.06\ \mathrm{year^{-1}}\)、贴现率 \(\rho=0.04\ \mathrm{year^{-1}}\)。修正黄金律稳态满足

\[ \alpha A(k^*)^{\alpha-1}=\rho+\delta, \qquad k^*=\left(\frac{\alpha A}{\rho+\delta}\right)^{\!1/(1-\alpha)}, \]

稳态消费为

\[ c^*=A(k^*)^\alpha-\delta k^*. \]

初始资本低于稳态，并要求在时域末端到达稳态资本：

\[ k(0)=0.55k^*, \qquad k(T)=k^*. \]

路径边界保证对数有定义，并把数值搜索限制在具有经济含义的范围：

\[ 0.20k^*\le k(t)\le1.20k^*, \qquad 0.05c^*\le c(t)\le1.80c^*. \]

在内部弧段上，当期值一阶条件给出 Ramsey Euler 方程

\[ \frac{\dot c}{c} =\alpha A k^{\alpha-1}-\delta-\rho. \]

右端是资本净边际回报减去时间偏好。当资本到达 \(k^*\) 时，该值趋于零。脚本在控制网格的中点独立计算此方程；由于固定端点在首末阶段的数值影响最强，RMS 统计排除了第一年和最后一年。

固定终端资本把无限时域稳态思想转化为定义清楚的有限时域转型问题。终端消费自由，且不设置终端效用。显式的正消费下界保护对数函数；最终解的消费保持在内部弧段。

离散采用 \(90\times2\) Lobatto 网格，对应四个月区间上的分段线性资本与消费历程。初始猜测使资本线性接近 \(k^*\)，同时近似满足资源平衡。

python -m examples.ramsey_growth

无界面运行并保存图片：

python -m examples.ramsey_growth --save ramsey-growth.png --no-show

system, phase = build_problem()
guess = initial_guess(phase)
solution = solve_problem(system, guess)
plot_solution(solution)

脚本在 4,001 个时刻重构状态和控制，检查全部路径与终端约束。除 NLP 求解器收敛状态外，还独立计算内部 Euler 方程残差作为经济最优性诊断。

资本单调增加并到达给定稳态。消费也随之提高，资本净边际回报则逐渐收敛到贴现率，与修正黄金律条件一致。

Ramsey 转型中的资本、消费、产出与资本净边际回报

完整可运行示例见： examples/ramsey_growth.py。