FitzHugh-Nagumo 神经元的最小能量刺激¶

背景¶

FitzHugh-Nagumo 模型用快速膜电压变量和慢速恢复变量描述可兴奋细胞动力学。它既保留了神经兴奋中类似阈值的非线性跃迁，又足够简洁，适合作为最优控制教程。

本例寻找单向有界电流，以最小归一化刺激能量，在固定截止时刻把静息神经元模型带到指定电压。只有当独立前向积分在电压仍向上变化时到达该值，结果才会通过验收。这里的目标是一次上升沿穿越，并非终端平衡态，也不能证明截止时刻之后会形成完整动作电位。

令 \(v(t)\) 为膜电压，\(w(t)\) 为恢复变量，\(I(t)\) 为注入电流。无量纲动力学为

\[ \dot v=v-\frac{v^3}{3}-w+I, \]

\[ \dot w=\varepsilon\left(v+a-bw\right), \]

其中

\[ a=0.7, \qquad b=0.8, \qquad \varepsilon=0.08. \]

初始条件为脚本采用的无外部刺激静息平衡点：

\[ v(0)=v_r=-1.1994080352440348, \]

\[ w(0)=w_r=\frac{v_r+a}{b}=-0.6242600440550435. \]

在固定无量纲时域 \(T=12\) 的末端，只约束电压：

\[ v(T)=1, \qquad w(T)\ \text{自由}. \]

目标是最小化归一化电流平方：

\[ \min_{v,w,I}\;J= \int_0^T\left(\frac{I(t)}{I_{\max}}\right)^2\,\mathrm dt, \qquad I_{\max}=2. \]

路径边界把轨迹限制在模型范围内：

\[ -2.5\le v(t)\le2.5, \qquad -1\le w(t)\le2, \]

\[ 0\le I(t)\le2. \]

优化问题本身没有加入终端导数约束。求解之后，独立积分轨迹必须满足 \(\dot v(T)>0\)；否则脚本会把它判为错误方向的穿越并拒绝结果。

所有量均为无量纲量。若没有额外的物理尺度和电极模型，图中的电流以及报告的电荷、能量都不能换算成安培、库仑或焦耳。

非负电流边界使其成为理想化的单相刺激。它适合研究非线性兴奋过程，但不满足电荷平衡。恢复状态在截止时刻自由，因为任务是在上升沿到达电压，而不是收敛到指定平衡点。

脚本使用 \(80\times4\) Lobatto 网格。平滑去极化状态和中等电流仅用于初始化 NLP；它们只是初始猜测，不能替代动力学约束。

配点求解后，脚本在 4,001 个时刻重构电流。独立的高精度 DOP853 积分从 \((v_r,w_r)\) 出发并使用该采样电流。脚本比较前向积分状态与配点状态，检查前向终端误差，并在独立传播轨迹上计算

\[ \dot v(T)=v(T)-\frac{v(T)^3}{3}-w(T)+I(T). \]

所有状态与电流边界也会在密集网格上检查。

终端电压变化率为正，验证了上升沿到达。并且在报告精度下，\(\int I^2\,\mathrm dt=I_{\max}^2J=4J\)，这也直接检验了归一化目标的一致性。

膜电压、优化刺激电流与 FitzHugh-Nagumo 相平面轨迹

这是教学模型，不是临床波形或医疗建议。模型未包含电极和组织动力学、电荷平衡相位、电极极化、空间激活、物理单位下的安全限值、参数差异、噪声以及截止时刻之后的轨迹。可实际部署的刺激设计需要经过校准的生物物理模型、满足电荷平衡的硬件约束和专业安全审查。

python -m examples.neural_stimulation

无界面运行并保存图片：

python -m examples.neural_stimulation --save neural-stimulation.png --no-show

system, phase = build_problem()
guess = initial_guess(phase)
solution = solve_problem(system, guess)
plot_solution(solution)