最小归一化能流的二能级量子状态转移¶

背景¶

在旋转坐标系中，共振驱动的二能级量子系统可以用 Bloch 向量表示。采用旋转波近似并令失谐为零后，有效 Rabi 控制使该向量在单位球面上转动。本例要求系统在固定时间内从北极转移到正 \(x\) 轴，同时最小化 Rabi 角频率的平方积分；下文将这一归一化指标称为 Rabi 控制场能流。

最优轨迹是由已知恒定控制产生的大圆弧。因此，本例可以同时核对非线性动力学、终端等式、控制边界和几何不变量，并与解析结果直接比较。

令

\[ \boldsymbol r=(r_x,r_y,r_z)^{\mathsf T}, \qquad \boldsymbol\Omega=(\Omega_x,\Omega_y,0)^{\mathsf T} \]

分别为 Bloch 向量和共振 Rabi 角频率控制。在旋转坐标系中，理想相干 Bloch 方程为

\[ \dot{\boldsymbol r}=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r, \]

分量形式为

\[ \begin{aligned} \dot r_x&=\Omega_y r_z,\\ \dot r_y&=-\Omega_x r_z,\\ \dot r_z&=\Omega_x r_y-\Omega_y r_x. \end{aligned} \]

固定时域为 \(T=2\)，初态和目标态分别为

\[ \boldsymbol r(0)=(0,0,1)^{\mathsf T}, \qquad \boldsymbol r(T)=(1,0,0)^{\mathsf T}. \]

归一化 Rabi 控制场能流目标与分量控制边界为

\[ \min_{\boldsymbol r,\boldsymbol\Omega} J=\int_0^T(\Omega_x^2+\Omega_y^2)\,\mathrm dt, \qquad |\Omega_x|,|\Omega_y|\le2. \]

两个端点在 Bloch 球上的夹角为 \(\pi/2\)。由于 \(\lVert\dot{\boldsymbol r}\rVert\le\lVert\boldsymbol\Omega\rVert\)，任意可行脉冲均满足

\[ \int_0^T\lVert\boldsymbol\Omega\rVert\,\mathrm dt\ge\frac{\pi}{2}. \]

再由 Cauchy-Schwarz 不等式得到

\[ J\ge\frac{1}{T} \left(\int_0^T\lVert\boldsymbol\Omega\rVert\,\mathrm dt\right)^2 \ge\frac{\pi^2}{4T}. \]

沿 \(y\) 轴的恒定脉冲可以取到等号：

\[ \Omega_x^*(t)=0, \qquad \Omega_y^*(t)=\frac{\pi}{2T}=\frac{\pi}{4}, \]

对应轨迹为

\[ \boldsymbol r^*(t)= \left( \sin\frac{\pi t}{2T}, 0, \cos\frac{\pi t}{2T} \right)^{\mathsf T}. \]

因此 \(J^*=\pi^2/(4T)=\pi^2/8\)。由于 \(\pi/4<2\)，控制边界不活跃。

Bloch 方程本身保持单位球面：

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\lVert\boldsymbol r\rVert_2^2 =2\boldsymbol r^{\mathsf T} (\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r)=0. \]

因此，转录模型没有再加入冗余的单位范数路径约束，而是在求解后密集重构轨迹并报告范数漂移。终端保真度按下式计算：

\[ F=\frac{1+\boldsymbol r_{\mathrm{target}}^{\mathsf T}\boldsymbol r(T)}{2}. \]

离散采用 \(24\times4\) Lobatto 网格，足以解析光滑的大圆轨迹。初始猜测直接使用解析恒定控制，因此本例的用途是验证数值实现，而不是测试困难初值下的全局收敛能力。

模型假设严格共振、旋转波近似和封闭系统相干动力学，忽略失谐、标定误差、带宽限制、弛豫与退相干。控制量是有效 Rabi 角频率，而不是实验室电场幅值；因此 \(J\) 只是归一化平方幅值积分，不能解释或外推为以焦耳计量的实验脉冲能量。

python -m examples.quantum_state_transfer

无界面运行并保存图片：

python -m examples.quantum_state_transfer --save quantum-state-transfer.png --no-show

system, phase = build_problem()
guess = initial_guess(phase)
solution = solve_problem(system, guess)
plot_solution(solution)

脚本在 4,001 个时刻重构状态和两个控制，并将控制边界、Bloch 范数、目标函数、控制面积与终端保真度逐项和解析解比较。

在所列精度下，数值控制与解析恒定控制一致，重构状态沿预期的四分之一大圆弧运动。

Bloch 向量分量、拉比控制与 Bloch 球状态转移轨迹