柔性空间望远镜转向与振动抑制

背景

大型空间望远镜并非理想刚体。反作用轮产生的角加速度会激发附属结构、 光学平台或仪器模态，使名义姿态机动结束后仍存在视线抖动。因此，合适 的转向轨迹不仅要到达目标角度，还要在开始观测前让刚体和柔性模态同时 稳定下来。

本例在 30 秒内完成 \(20^\circ\) 的静止到静止转向。反作用轮力矩作为 状态，力矩变化率作为控制量，因此执行器平滑性和终端卸载都能被明确 约束。

动力学模型

令 \(\theta\) 为刚体指向角，\(\omega=\dot\theta\) 为角速度，\(\eta\) 为 等效视线柔性位移，\(\dot\eta\) 为其速度，\(\tau\) 为反作用轮力矩， \(\nu=\dot\tau\) 为力矩变化率指令。一个轻阻尼模态与刚体角加速度耦合：

\[ \begin{aligned} \dot\theta&=\omega,\\ \dot\omega&=\frac{\tau}{J_s},\\ \dot\eta&=v_\eta,\\ \dot v_\eta &=-2\zeta_f\omega_fv_\eta-\omega_f^2\eta -b_f\frac{\tau}{J_s},\\ \dot\tau&=\nu. \end{aligned} \]

固定时域和主要参数为

\[ T=30\ \mathrm s,\qquad J_s=1800\ \mathrm{kg\,m^2},\qquad \omega_f=2\pi(0.32)\ \mathrm{rad/s}, \]

\[ \zeta_f=0.008,\qquad b_f=0.18. \]

耦合系数把刚体角加速度映射为等效视线模态坐标；这是教学型降阶模型， 不是空间望远镜有限元模型。

目标函数、端点与路径约束

归一化平均目标函数同时惩罚轮系需求、力矩变化率、模态位移和模态速度：

\[ \min J=\frac1T\int_0^T \left[ \left(\frac{\tau}{\tau_{\max}}\right)^2 +0.02\left(\frac{\nu}{\nu_{\max}}\right)^2 +0.8\left\{ \left(\frac{\eta}{\eta_s}\right)^2 +\left(\frac{v_\eta}{\omega_f\eta_s}\right)^2 \right\} \right]\,\mathrm dt, \]

其中 \(\tau_{\max}=12\ \mathrm{N\,m}\)、 \(\nu_{\max}=2.5\ \mathrm{N\,m/s}\)、\(\eta_s=10^{-4}\ \mathrm{rad}\)。 端点条件为

\[ \begin{aligned} (\theta,\omega,\eta,v_\eta,\tau)(0) &=(0,0,0,0,0),\\ (\theta,\omega,\eta,v_\eta,\tau)(T) &=(20^\circ,0,0,0,0). \end{aligned} \]

路径边界为

\[ \begin{aligned} -0.02\ \mathrm{rad}&\le\theta(t) \le\frac{\pi}{9}+0.02\ \mathrm{rad},\\ |\omega(t)|&\le1.8^\circ/\mathrm s,\\ |\eta(t)|&\le8.0\times10^{-4}\ \mathrm{rad},\\ |v_\eta(t)|&\le\omega_f(8.0\times10^{-4})\ \mathrm{rad/s},\\ |\tau(t)|&\le12\ \mathrm{N\,m},\\ |\nu(t)|&\le2.5\ \mathrm{N\,m/s}. \end{aligned} \]

代码中的指向角边界使用弧度，且 \(\pi/9\ \mathrm{rad}=20^\circ\)。

变量与单位

符号	含义	单位
\(t\)	机动时间	s
\(\theta,\omega\)	刚体指向角和角速度	rad、rad/s
\(\eta,v_\eta\)	等效视线模态位移和速度	rad、rad/s
\(\tau\)	反作用轮力矩状态	N m
\(\nu\)	力矩变化率控制量	N m/s
\(J_s\)	刚体指向惯量	kg m²
\(\omega_f,\zeta_f\)	柔性模态频率和阻尼比	rad/s、无量纲
\(b_f\)	刚体加速度到柔性模态的耦合系数	无量纲

参考机动与独立检查

五次最小加加速度刚体转向

\[ \theta_{\mathrm{ref}}(t)=\theta_T \left(10s^3-15s^4+6s^5\right), \qquad s=t/T \]

既提供初始猜测，也作为未整形对照。其解析角加速度会在优化器之外独立 代入柔性模态方程积分。

两种轨迹的终端模态幅值统一定义为

\[ A_f=\sqrt{\eta(T)^2+ \left(\frac{v_\eta(T)}{\omega_f}\right)^2}. \]

脚本还对优化得到的力矩变化率样本作线性插值，再用高精度 DOP853 求解器重新积分全部五个物理微分方程，从而暴露只检查配点终端可能掩盖 的误差。

建模选择与适用边界

把力矩设为状态、力矩变化率设为控制，可得到连续且受变化率限制的轮系 需求，并强制终端力矩为零。\(300\times2\) Lobatto 网格能够解析 0.32 Hz 模态，同时保留分段线性控制历程。

模型只包含一个线性柔性模态和一个指向轴，省略轮速与角动量容量、电气 动态、多结构模态、非线性几何、传感器噪声、扰动和闭环姿态控制器。 它用于展示机动整形方法，不是飞行级抖动预报模型。

运行示例

python -m examples.flexible_telescope_slew

保存图片且不打开窗口：

python -m examples.flexible_telescope_slew --save flexible-telescope-slew.png --no-show

验证结果

指标	验证值
目标函数 \(J\)	\(0.41550448\)
刚体角速度峰值	\(1.091275^\circ/\mathrm s\)
轮系力矩峰值	\(4.414576\ \mathrm{N\,m}\)
优化轨迹柔性误差峰值	\(23.265178\ \mathrm{arcsec}\)
未整形终端模态幅值	\(5.276834\ \mathrm{arcsec}\)
整形后独立积分终端幅值	\(0.1791\ \mathrm{arcsec}\)
最大尺度化前向积分误差	\(1.708\times10^{-3}\)
尺度化前向积分终端误差	\(9.845\times10^{-4}\)
最大积分动力学平衡误差	\(3.997\times10^{-15}\)

配点端点严格指定模态位移与速度为零；非零的 \(0.1791\) arcsec 是对插值 控制独立积分后得到的更严格结果。它约为未整形最小加加速度残余的 3.4%， 低于脚本设定的 5% 验收阈值。

源代码

完整可运行示例见： examples/flexible_telescope_slew.py。