离散与插值

Radau 与 Lobatto 节点

Pockit 提供 Radau 与 Lobatto 节点两种插值节点

• Radau 节点在子区间端点处可以间断。若函数的间断点位于子区间端点，其可精确表示被近似函数
• Lobatto 节点在相邻子区间公共端点共用同一个优化变量，因此其插值结果总是为连续函数，仅可以精确近似连续函数。此外，Lobatto 节点具有在子区间内对称的特点

具体选择：

• 若控制连续，则两种插值点均可采用
• 若控制间断，但瞬间切换不必精确计算，可以容许用斜率很大的短时间切换近似，则两种插值点均可采用
• 需要精确近似间断函数，则只能选择 Radau 节点

子区间及插值点数量

Pockit 将时间区间的函数近似为多个子区间的多项式插值。其中子区间划分和每个子区间的插值点数量是用户指定的参数，也可以通过 Pockit 提供的迭代方法自动调整。

在选择子区间时，需要注意：

• 子区间数量过多或过少都可能导致求解失败
• 若问题的控制量为间断函数，子区间端点应尽量接近间断点，以获得更好的近似效果
• 为了避免病态数值问题，不同子区间长度不应相差过大（相差多个数量级）

在选择插值点数量时，需要注意：

• 不同子区间内的插值点数量可以不同，但不易相差过大
• 若控制为间断函数，往往插值点数较低（\(1 \sim 10\)）时可以获得更好的近似效果；若控制光滑，每个区间内的插值点数可以适当增加（\(10\sim 20\)），但不可过多（\(> 30\)）