间断捕获与网格加密

简介

Pockit 通过分段线性多项式拟合函数。Radau 节点在网格点（子区间边界）处容许间断；Lobatto 节点的近似函数总是在区间内连续。为了较为精确地拟合函数，需要从间断处和连续部分两方面进行考虑

对于所有间断点，要存在网格点与其尽可能接近
对于连续部分，网格要足够密、插值节点数足够多以使得其近似误差在容许范围

Pockit 可以分别估计间断部分和连续部分的误差，并根据当前计算结果自动对网格点和插值点个数进行调整。

间断捕获

Lobatto 节点无法精确近似间断函数，本节中的方法仅适用于 Radau 节点。

对于 Radau 节点，Pockit 通过如下方法检测间断点估计是否准确：对于在 Phase.set_phase_constraint() 中设置为 bang-bang 控制的阶段约束，检测其是否在每个子区间内都同时接近下界或同时接近上界。其中相对误差为 tolerance_discontinuous 由用户给定，默认为 \(10^{-3}\)。通过调用 System.check_discontinuous() 方法检验当前计算结果是否满足上述条件

# 系统有 n_p 个 Phase，对应的 Variable 分别为 v_0, ..., v_{n_p - 1}
# 系统变量取值对应的列表或 np.array 为 v_sp
S.check_discontinuous(
    [v_0, ..., v_{n_p - 1}, v_sp], # 若只有一个阶段且无系统变量，也可以直接传入 v
    tolerance_discontinuous,
    tolerance_mesh, # 长度小于 tolerance_mesh 的子区间跳过检测
)

若检测不通过，Pockit 可以自动估计函数间断点位置，并增加或移动网格点使得网格点尽可能接近间断点。通过调用 System.refine_discontinuous() 方法实现

# 系统有 n_p 个 Phase，对应的 Variable 分别为 v_0, ..., v_{n_p - 1}
# 系统变量取值对应的列表或 np.array 为 v_sp
[v2_0, ..., v2_{n_p - 1}, v2_sp] = S.refine_discontinuous(
    [v_0, ..., v_{n_p - 1}, v_sp], # 若只有一个阶段且无系统变量，也可以直接传入 v
    tolerance_discontinuous,
    num_point_min, # 子区间最低插值点个数
    num_point_max, # 子区间最高插值点个数
    mesh_length_min, # 子区间最短长度（假设总长为 1）
    mesh_length_max # 子区间最长长度（假设总长为 1）
)
# 返回的 v2_* 为 v_* 在新插值点上的插值，可直接用作下一轮优化输入

注：Pockit 目前无法估计有 singular arc 的最优控制问题间断点。

网格加密

对于连续部分，pockit 采用 ph 方法估计误差和加密网格。方法参考：

Patterson, M. A., W. W. Hager and A. V. Rao (2015). "A mesh refinement method for optimal control." Optimal Control Applications & Methods 36(4): 398-421.

通过调用 System.check_continuous() 方法检验当前计算结果是否满足容许误差

# 系统有 n_p 个 Phase，对应的 Variable 分别为 v_0, ..., v_{n_p - 1}
# 系统变量取值对应的列表或 np.array 为 v_sp
S.check_continuous(
    [v_0, ..., v_{n_p - 1}, v_sp], # 若只有一个阶段且无系统变量，也可以直接传入 v
    atol,
    rtol,
    tolerance_mesh, # 长度小于 tolerance_mesh 的子区间跳过检测
)

若检测不通过，Pockit 可以自动估计函数误差并增加网格点或插值点数量。通过调用 System.refine_continuous() 方法实现自适应网格加密

# 系统有 n_p 个 Phase，对应的 Variable 分别为 v_0, ..., v_{n_p - 1}
# 系统变量取值对应的列表或 np.array 为 v_sp
[v2_0, ..., v2_{n_p - 1}, v2_sp] = S.refine_discontinuous(
    [v_0, ..., v_{n_p - 1}, v_sp], # 若只有一个阶段且无系统变量，也可以直接传入 v
    atol,
    rtol,
    num_point_min, # 子区间最低插值点个数
    num_point_max, # 子区间最高插值点个数
    mesh_length_min, # 子区间最短长度（假设总长为 1）
    mesh_length_max # 子区间最长长度（假设总长为 1）
)
# 返回的 v2_* 为 v_* 在新插值点上的插值，可直接用作下一轮优化输入

同时处理间断和连续部分

Pockit 还提供 System.check() 和 System.refine() 方法，同时处理间断和连续部分。

该方法会同时检测间断点和连续部分的误差。若间断点误差不满足容许范围，会调用 System.refine_discontinuous() 方法，并跳过连续部分的网格加密。在间断点误差满足容许范围的情况下，若连续部分误差不满足容许范围，会调用 System.refine_continuous() 方法。由于 ph 网格加密不会减少网格点，因此连续加密不会导致网格点远离函数间断点。