略过符号微分

尽管符号微分对于多数问题都较为方便，但出于如下原因，可能有需求跳过符号微分：

• 问题无法简单描述为符号表达式
• 有其它更适宜的自动微分方法
• 函数需要调用编译好的外部库
• 希望直接调用编译好的函数以提高速度

设置方法

如果需要跳过某个函数的符号微分，方法与使用缓存功能类似（参见编译速度过慢）。只需将手动编译的函数文件放置在指定的文件夹中，然后在 set_* 函数中设置 cache 参数为该文件夹路径，pockit 将直接加载这些函数，从而实现跳过符号微分。

例如，若需要跳过第一个变量的动力学方程的符号微分，可以准备 cache/dynamics_0.py 文件，然后在 set_dynamics 函数中设置 cache="cache"，从而不论传入的动力学方程符号是什么（可以设置为 0），pockit 都会直接加载 cache/dynamics_0.py 文件。不同函数的文件名见下表：

函数	文件名
Phase.set_dynamics	dynamics_{i}.py
Phase.set_integral	integral_{i}.py
Phase.set_phase_constraint	phase_constraint_{i}.py
Phase.set_boundary_condition	boundary_condition_0_{i}.py, boundary_condition_f_{i}.py, boundary_condition_t_0.py, boundary_condition_t_f.py
System.set_objective	objective.py
System.set_system_constraint	system_constraint_{i}.py

文件格式

提供的 Python 文件应包含向量函数 F、G、H 和变量 G_index、H_index_row、H_index_col。这些函数和变量的定义如下（也可参见 API 文档）：

• 函数 F、G、H 的输入参数为两个变量，第一个为一维 NumPy 数组 x，第二个为标量 l。函数需要返回在 l 个不同的点上函数的取值。其中，x 每连续 l 个元素为一个参数在不同点上的取值。例如，若函数为 \(f(x_0, x_1, \dots, x_{m - 1})\)，则向量化函数应计算如下点上的取值 \([f(x_0, x_1,\)\( \dots, x_{l - 1}), \)\(f(x_l, x_{l + 1}, \)\(\dots, x_{2l - 1}), \)\(\dots, \)\(f(x_{(m - 1) l}, x_{(m - 1) l + 1}, \)\(\dots, x_{-1})\)\(]\)。
• 函数 F 的输出为长度为 l 的一维 NumPy 数组，表示函数 \(f\) 在 l 个点上的取值。函数 G 的输出为形状 (len(G_index), l) 的二维 NumPy 数组，表示函数 \(f\) 的梯度在 l 个点上的取值。函数 H 的输出为形状 (len(H_index_row), l) 的二维 NumPy 数组，表示函数 \(f\) 的 Hessian 矩阵在 l 个点上的取值。
• 变量 G_index、H_index_row、H_index_col 需要与 G、H 的输出对应。这些变量应为整数 NumPy 数组，表示函数 \(f\) 的梯度和 Hessian 矩阵的非零元素索引。其中，H_index_row 和 H_index_col 的长度相等，且只包含下三角部分的索引。（Heissian 矩阵为对称矩阵，因此只需存储下三角部分。）G_index 和 H_index_row 应严格递增，且 H_index_col 在相同行上也应严格递增。

示例文件可参考生成的缓存文件。

设系统有 \(n_x\) 个状态变量，\(n_u\) 个控制变量，\(n_i\) 个积分，\(n_s\)个系统参数，则不同函数的输入参数和输入维数如下表：

函数	输入参数	输入维数 \(m\)
Phase.set_dynamics	\(x\)、\(u\)、\(t\)、\(s\)	\(n_x + n_u + 1 + n_s\)
Phase.set_integral	\(x\)、\(u\)、\(t\)、\(s\)	\(n_x + n_u + 1 + n_s\)
Phase.set_phase_constraint	\(x\)、\(u\)、\(t\)、\(s\)	\(n_x + n_u + 1 + n_s\)
Phase.set_boundary_condition	\(s\)	\(n_s\)
System.set_objective	\(I\)、\(s\)	\(n_i + n_s\)
System.set_system_constraint	\(I\)、\(s\)	\(n_i + n_s\)